نهاية تابع عددي – حالات عدم التعيين – المستقيمات المقاربة

* لإيجاد نهاية تابع f ( x ) = y في الحالتين :
1) عندما x قيمة معينة : نعوض قيمة x في التابع .
2) عندما ) ∞ - x أو ∞ + x ( نميز الحالات الآتية :
1- f صحيح : نعوض ∞ +أو ∞ -بأكبر أس لـ x .
2- f كسري بسطه ومقامه توابع صحيحة نميز :
a - درجة البسط < درجة المقام : f 0
b - درجة البسط > درجة المقام : ∞ - أو ∞ + f
c - درجة البسط = درجة المقام : أمثال أكبر أس f
أمثال أكبر أس
* حالات عدم التعيين ( سبعة ) :
0 , ∞ , 0 × ∞ , ∞ - ∞ , ∞ ( 1 ) , ( 0 ) 0 , ( ∞ ) 0 تزال بعدة طرق كما سنرى لاحقا" .
0 ∞
* تذكرة : عدد ¹ 0 ∞ ( مع مراعاة الإشارة ) , 0 0 , عدد 0 , ∞ ∞ ( مع مراعاة الإشارة )
0 عدد ¹ 0 ∞ عدد
* المستقيمات المقاربة :
1) المقارب الموازي للمحور x¢ x :
* تعريف : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f ( x ) y = , وليكن ∆ مستقيما" موازيا" للمحور x¢ x معادلته : y∆ = h
يكون المستقيم ∆ مقارب للخط ( C ) إذا كان lim f ( x ) = h عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو إلى- ¥ )
* ملاحظة : لمعرفة وضع الخط ( C ) بالنسبة إلى المستقيم// x¢ x ∆ أو مائل ندرس إشارة الفرق :f ( x ) – y ∆
فإذا كان موجبا" يكون ( C ) فوق ∆ , وإذا كان سالبا" يكون ( C ) تحت ∆ .
- بطريقة ثانية : إذا كان f ¢¢ > 0 يكون C تحت D , وإذا كان f ¢¢ < 0 يكون C فوق D . ( حيث D مقارب أو مماس )
* تمرين محلول : ليكن f التابع المعرف على] 0 , + ¥ [ وفق : f ( x ) 2
x
بين هل توجد مستقيمات مقاربة لخطه البياني ( C ) موازية لمحور السينات ؟
lim f ( x ) = 0 أي : y = 0 D مقارب للخط ( C ) منطبق على x¢ x+ .
x + ¥
نلاحظ أن : f ( x ) – y ∆ > 0 على المجال] 0 , + ¥ [ إذا" ( C ) يقع فوق D .




2) المقارب الموازي للمحور y¢ y :
* تعريف : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f ( x ) y = , وليكن ∆ مستقيما" موازيا" للمحور y¢ y معادلته : x∆ = h
يكون المستقيم ∆ مقارب للخط ( C ) إذا كان lim f ( x ) = ± ¥ عندما تسعى x إلى h (من اليمين او اليسار)
* ملاحظة : لمعرفة وضع ( C ) بالنسبة لـ// y¢ y ∆ إذا كان x > x ∆ فإن ( C ) يقع على يمين ∆ . والعكس بالعكس .
* تمرين محلول : ليكن f التابع المعرف على] 1 , + ¥ [ وفق : f ( x ) 2
x – 1
أثبت أن المستقيم x = 1 مقارب لخطه البياني ( C ) .
lim f ( x ) = + ¥ أي : x = 1 D مقارب للخط ( C ) ونلاحظ أن : x > 1 أي ( C ) يقع على يمين المقارب .
x > 1
* ملاحظة : كل خط بياني ( C ) لتابع كسري تناظري يملك مستقيمين مقاربين أحدهما يوازي x¢ x والآخر يوازي y¢ y .
ويكون التابع إما متناقص تماما" ويرسم فرعاه في الربعين الأول والثالث بالنسبة لمقاربيه أو متزايد تماما" ويرسم
فرعاه في الربعين الثاني والرابع بالنسبة لمقاربيه . ( C يمثل قطع زائد متساوي الساقين منسوبا" لمقاربيه )
* تمرين محلول : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f المعرف على ] - ¥ , 0 [ U ] 0 , + ¥ [ : f ( x ) x + 1
x
أثبت أن لخطه البياني ( C ) مقاربين أحدهما يوازي المحور x¢ x والآخر منطبق على المحور y¢ y .
وبين وضع ( C ) بالنسبة إلى هذين المقاربين .
lim f ( x ) = 1 Þ ∆ 1 : y = 1 // x¢ x-
x - ¥
lim f ( x ) = 1 Þ ∆ 1 : y = 1 // x¢ x+ x + ¥
lim f ( x ) = - ¥ أي : x = 0 ∆ 2 مقارب منطبق على y¢ y -
x < 0
lim f ( x ) = + ¥ أي : x = 0 D 2 مقارب منطبق على + y¢ y
x > 0
نلاحظ أن : f ( x ) – y ∆ x + 1 1 1
x x
في المجال ] - ¥ , 0 [ : f ( x ) – y ∆ < 0 , x < 0 الفرع ( C1 ) يقع تحت ∆ 1 وإلى يسار ∆ 2 .
في المجال ] 0 , + ¥ [ : f ( x ) – y ∆ > 0 , x > 0 الفرع ( C2 ) يقع فوق ∆ 1 وإلى يمين ∆ 2 .





3) المقارب المائل :
* تعريف : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f ( x ) y = , وليكن ∆ مستقيما" مائلا" معادلته : y∆ = m x + h
يكون ∆ مقارب للخط ( C ) إذا كانت : lim [ f ( x ) – y ∆ ] = 0 عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو- ¥ )
* مثال ( 1 ) : أثبت أن المستقيم ∆ : y = 2 x مقارب للخط البياني ( C ) للتابع f ( x ) = 4 x2 – 4 عند + ¥
وبين وضع ( C ) بالنسبة لـ ∆ .

f ( x ) – y ∆ < 0 Ü ( C ) يقع تحت ∆
* ملاحظة : كل تابع f ( x ) = a x + b + g ( x ) ويحقق lim g ( x ) = 0 عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو- ¥ )
يقبل خطه البياني المستقيم y = a x + b مقاربا" مائلا" .
* مثال ( 2 ) : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f المعرف على ] - ¥ , 1 [ وفق : f ( x ) = 2 x + 3 + 1
1 – x
أثبت أن المستقيم ∆ الذي معادلته : y = 2 x + 3 مقارب للخط ( C ) وبين وضع ( C ) بالنسبة لـ ∆ .

f ( x ) – y ∆ > 0 Ü ( C ) يقع فوق ∆

مشكور اخي على الأهتمام

شكرا لك اخي الزعيم على الموضوع
وعلى اهتمامك
ويعطيك الف عافية
مشكوررر